Нильгруппы в алгебре: свойства и примеры
Нильгруппы — это важный класс групп в абстрактной алгебре, который находит применение во многих разделах математики. Они обладают рядом интересных свойств и служат примерами групп с особым видом разрешимости.
Определение нильгруппы
Группа G называется нильгруппой (или нильпотентной группой), если она обладает центральным рядом конечной длины. Формально это означает, что существует цепочка подгрупп:
{e} = G₀ ◁ G₁ ◁ ... ◁ Gₙ = G
где каждый фактор Gᵢ₊₁/Gᵢ содержится в центре G/Gᵢ.
Основные свойства нильгрупп
- Конечнопорожденность: Любая конечнопорожденная нильгруппа является конечной или бесконечной циклической.
- Разрешимость: Все нильгруппы являются разрешимыми (но не наоборот!).
- Автоморфизмы: Группа автоморфизмов нильгруппы часто обладает специальными свойствами.
- Тензорные произведения: Для нильгрупп хорошо работают различные конструкции тензорных произведений.
Примеры нильгрупп
Рассмотрим несколько типичных примеров нильгрупп:
- Абелевы группы: Все абелевы группы являются нильгруппами класса 1.
- Группа Гейзенберга: Матричная группа верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали.
- p-группы: Конечные p-группы (группы порядка pⁿ) являются нильгруппами.
Интересный факт: Конечная группа является нильгруппой тогда и только тогда, когда каждая её силовская p-подгруппа нормальна.
Применение нильгрупп
Нильгруппы находят применение в различных областях:
- Алгебраическая геометрия: В теории алгебраических групп.
- Теория чисел: При изучении гауссовых сумм и характеров.
- Топология: В гомотопической теории и теории расслоений.
Важное преимущество нильгрупп — их хорошая структура, которая позволяет проводить явные вычисления и строить контрпримеры в теории групп.