Декагон: свойства и формулы правильного десятиугольника

Декагон (от греч. δέκα — десять и γωνία — угол) — это многоугольник с десятью сторонами и десятью углами. В геометрии особый интерес представляет правильный декагон — фигура, у которой все стороны равны между собой, а все углы составляют 144°.

Основные свойства декагона

• Количество сторон: 10 (десять)
• Сумма внутренних углов: 1440° (формула: (n-2)×180°)
• Величина каждого внутреннего угла в правильном декагоне: 144°
• Центральный угол: 36° (360°/10)
• Количество диагоналей: 35 (n(n-3)/2)
• Симметрия: обладает D₁₀ диэдральной симметрией

Формулы для правильного декагона

1. Площадь декагона

2. Периметр декагона

Периметр правильного декагона вычисляется простым умножением длины стороны на количество сторон:
P = 10 × a

3. Радиус описанной окружности (R)

Радиус окружности, описанной вокруг правильного декагона:
R = a/(2 × sin(π/10)) = a/(2 × sin(18°)) ≈ 1.618 × a (золотое сечение φ)

4. Радиус вписанной окружности (r)

Радиус окружности, вписанной в правильный десятиугольник:
r = (a/2) × √(5 + 2√5) ≈ 1.5388 × a

5. Длина диагоналей

Правильный декагон имеет диагонали разной длины:
Короткая диагональ: d₁ ≈ 1.383 × a
Средняя диагональ: d₂ ≈ 2.236 × a (золотое сечение φ×√5)
Длинная диагональ: d₃ ≈ 2.618 × a (φ²)

Интересные факты о декагоне

1. Декагон — один из немногих правильных многоугольников, который не может замостить плоскость без пробелов и наложений.
2. В природе десятиугольные формы встречаются в кристаллических структурах некоторых квазикристаллов.
3. Здание Пентагона в США (штаб-квартира Министерства обороны) по форме представляет собой два вложенных пятиугольника, что создает десятиугольное внутреннее пространство.
4. В исламской архитектуре в X-XII веках часто использовались десятиугольные планы для мавзолеев и гробниц.
5. Декагональная симметрия наблюдается в некоторых радиоляриях — микроскопических морских организмах.
6. В геральдике десятиугольник используется редко, но встречается в некоторых современных гербах и эмблемах.

Построение правильного декагона

Правильный десятиугольник можно построить циркулем и линейкой. Основные этапы:

1. Построить окружность с радиусом R.
2. Провести два перпендикулярных диаметра.
3. Разделить один радиус пополам.
4. Из точки деления провести дугу до пересечения с горизонтальным диаметром.
5. Это расстояние будет равно стороне вписанного десятиугольника.

Применение декагона

• В архитектуре десятиугольные формы используются для создания необычных зданий и сооружений.
• В дизайне декагональные узоры применяются для создания декоративных элементов.
• В игровых кубиках (дайсах) 10-гранные формы используются для генерации случайных чисел от 1 до 10.
• Форма десятиугольника встречается в некоторых дорожных знаках и указателях.
• В астрономии схематичное изображение декагона используется для графического представления орбит.