Квазиранг в математике: определение, свойства и примеры использования

Квазиранг — это важное понятие в линейной алгебре и анализе данных, которое обобщает классическое определение ранга матрицы. В отличие от обычного ранга, квазиранг учитывает числовую устойчивость матрицы и её чувствительность к малым возмущениям.

Определение квазиранга

Квазиранг матрицы A определяется как максимальное число её строк (или столбцов), которые остаются линейно независимыми с заданной точностью ε. Формально:

Здесь ε играет роль порогового значения, отделяющего значимые сингулярные числа от незначимых.

Ключевые свойства квазиранга

• Монотонность: при увеличении ε квазиранг не возрастает
• Непрерывность: малые изменения в матрице приводят к малым изменениям квазиранга
• Инвариантность: квазиранг сохраняется при унитарных преобразованиях
• Субмультипликативность: квазиранг произведения матриц не превосходит произведения их квазирангов

Сравнение с обычным рангом

1. Классический ранг — частный случай квазиранга при ε → 0
2. Квазиранг учитывает численную устойчивость вычислений
3. Для вырожденных матриц квазиранг даёт более содержательную информацию

Примеры применения квазиранга

1. В регрессионном анализе квазиранг помогает выявить мультиколлинеарность предикторов:

2. В обработке сигналов квазиранг используется для оценки сложности модели:

• Анализ временных рядов
• Сжатие данных
• Шумоподавление

3. В компьютерном зрении квазиранг применяется для:

1. Определения размерности многообразия изображений
2. Анализа текстуры
3. Классификации объектов

Практический пример вычисления

Рассмотрим матрицу 3×3:

При ε = 0.1 квазиранг равен 2, так как третье сингулярное число ≈ 0.005 < ε, хотя классический ранг равен 3.