Максимум-норма — это специальный тип нормы, широко используемый в математическом анализе и других научных дисциплинах. Она определяется как максимальное абсолютное значение компонентов вектора или максимальное абсолютное значение функции на заданном множестве.
Формально для вектора x = (x₁, x₂, ..., xₙ) максимум-норма записывается как ∥x∥∞ = max(|x₁|, |x₂|, ..., |xₙ|).
В линейной алгебре максимум-норма играет ключевую роль при изучении свойств матриц и линейных операторов. Она особенно полезна при анализе сходимости последовательностей векторов и решении систем линейных уравнений.
В функциональном анализе максимум-норма применяется для нормирования пространств непрерывных функций. Для функции f, определённой на множестве X, её максимум-норма вычисляется как ∥f∥∞ = sup{|f(x)| : x ∈ X}.
В экономических моделях максимум-норма помогает измерять степень отклонения экономических показателей от заданных значений. Например, при анализе динамических систем она может показать максимальное отклонение от равновесия.
Методы, основанные на максимум-норме, применяются для:
В компьютерных науках максимум-норма используется в алгоритмах машинного обучения, особенно при нормализации данных. Она помогает масштабировать признаки к определённому диапазону, что улучшает производительность алгоритмов.
Интересный факт: в обработке изображений максимум-норма часто применяется при вычислении расстояния между пикселями для выявления границ объектов.
В отличие от евклидовой нормы (L²), которая учитывает все компоненты вектора, максимум-норма (L∞) фокусируется только на наибольшем по модулю элементе. Это делает её особенно полезной в задачах, где важны предельные значения.
Основные отличия норм: