Методы анализа функций и их поведения на плоскости

1. Определение области определения и области значений функции

Первый шаг в анализе функции — определение её области определения (D(f)) и области значений (E(f)). Область определения включает все допустимые значения аргумента x, при которых функция определена. Например, для f(x) = √(x-2) область определения — x ≥ 2.

2. Построение графика функции

График функции — это её визуальное представление на координатной плоскости. Для построения графика можно использовать:

• Таблицы значений — подставляем различные значения x и находим соответствующие y.
• Преобразования графиков — сдвиги, растяжения, отражения.
• Свойства функции — чётность/нечётность, периодичность.

3. Исследование на монотонность

Функция называется возрастающей, если при увеличении аргумента увеличивается её значение, и убывающей в противоположном случае. Для анализа используют:

1. Производную функции — если f'(x) > 0, функция возрастает, если f'(x) < 0 — убывает.
2. Основное свойство — сравнение значений функции в различных точках.

4. Нахождение экстремумов

Экстремумы — это точки максимума и минимума функции. Их можно найти:

• С помощью производной (критические точки, где f'(x) = 0 или не существует).
• Используя вторую производную для определения характера экстремума.

5. Асимптоты графика

Асимптоты — прямые, к которым график функции приближается, но никогда не пересекает:

1. Вертикальные (x = a, если lim f(x) = ∞ при x→a).
2. Горизонтальные (y = b, если lim f(x) = b при x→±∞).
3. Наклонные (y = kx + b).

6. Исследование на выпуклость и точки перегиба

Функция выпукла вверх (вогнута), если её график лежит ниже касательной, и выпукла вниз, если выше. Точки перегиба — точки изменения направления выпуклости.