Как преобразовать уравнение четвертой степени к квадратному виду?

Уравнения четвертой степени (квартические уравнения) представляют собой полиномы вида:

Для решения таких уравнений часто применяют метод понижения степени, преобразуя их к квадратному виду. Рассмотрим основные методы:

1. Метод замены переменной

Этот метод применяется, когда уравнение можно свести к квадратному относительно новой переменной:

1. Выполните замену x² = t
2. Получите квадратное уравнение относительно t
3. Решите полученное уравнение
4. Вернитесь к исходной переменной x

Пример:

Корни уравнения: t₁ = 1, t₂ = 4. Возвращаясь к x:

x² = 1 → x = ±1
x² = 4 → x = ±2

2. Метод Феррари

Для общего случая квартного уравнения используют метод, разработанный Лодовико Феррари:

1. Приведите уравнение к виду x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0
2. Выполните замену y = x + a/4, чтобы убрать член с x³
3. Представьте уравнение в виде произведения двух квадратных

3. Метод симметричных коэффициентов

Применяется, когда уравнение имеет симметричные коэффициенты:

Порядок решения:

1. Разделите уравнение на x²
2. Выполните замену t = x + 1/x
3. Получите квадратное уравнение относительно t

Важные замечания

• Не все уравнения четвертой степени допускают преобразование к квадратному виду простой заменой
• В общем случае решение требует методов алгебры высших степеней
• Для уравнений без четных степеней применимы другие методы