Теорема косинусов: формула и её применение
Теорема косинусов — одна из фундаментальных теорем евклидовой геометрии, которая устанавливает связь между сторонами и углами треугольника. Она является обобщением теоремы Пифагора и применяется для любых треугольников, не только прямоугольных.
Формулировка теоремы косинусов
В любом произвольном треугольнике квадрат длины стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
c² = a² + b² - 2ab·cosγ
Где:
- a, b — длины двух сторон треугольника
- c — длина стороны, противолежащей углу γ
- γ — величина угла между сторонами a и b
Теорема имеет три формы записи в зависимости от того, какую сторону мы вычисляем:
a² = b² + c² - 2bc·cosα
b² = a² + c² - 2ac·cosβ
c² = a² + b² - 2ab·cosγ
Геометрический смысл теоремы
Теорема косинусов позволяет:
- Найти третью сторону треугольника, если известны две другие и угол между ними
- Определить углы треугольника, если известны все три стороны
- Решать различные прикладные задачи в физике, инженерии и навигации
Интересный факт: Теорема косинусов исторически была сформулирована задолго до появления современной тригонометрии. Её частные случаи использовались ещё в Древнем Египте и Вавилоне для решения землемерных задач.
Доказательство теоремы
Рассмотрим доказательство для остроугольного треугольника ABC, где угол C — острый:
- Опустим высоту h из вершины A на сторону BC
- По теореме Пифагора для треугольников ABD и ACD получим:
c² = h² + BD²
b² = h² + CD²
- Выразим из второго уравнения h² и подставим в первое:
c² = (b² - CD²) + BD² = b² + (BD² - CD²)
- Учитывая, что BD = a - CD, преобразуем выражение:
c² = b² + (a - CD)² - CD² = a² + b² - 2a·CD
- По определению косинуса:
CD = b·cosγ
- Подставляя, получаем окончательную формулу:
c² = a² + b² - 2ab·cosγ
Пример применения теоремы
Рассмотрим треугольник со сторонами a = 8 см, b = 10 см и углом между ними γ = 60°. Найдём длину третьей стороны c:
c² = 8² + 10² - 2·8·10·cos60°
c² = 64 + 100 - 160·0.5
c² = 164 - 80 = 84
c = √84 ≈ 9.165 см
Связь с теоремой Пифагора
При γ = 90° (прямой угол) теорема косинусов преобразуется в теорему Пифагора:
c² = a² + b² - 2ab·cos90° = a² + b²
Так как cos90° = 0, последнее слагаемое обращается в ноль.
Применение в практических задачах
Теорема косинусов широко применяется в различных областях:
- В навигации для определения расстояний
- В физике при расчёте векторных величин
- В компьютерной графике для вычисления углов между объектами
- В строительстве и архитектуре
- В астрономии для расчёта расстояний до звёзд