Эффективные алгоритмы для поиска простых чисел в большом диапазоне

Поиск простых чисел — фундаментальная задача теории чисел, имеющая важное значение в криптографии, компьютерных науках и математике. Простым числом называется натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

1. Решето Эратосфена

Классический алгоритм поиска всех простых чисел до заданного числа n. Эффективен для относительно небольших диапазонов (до 10⁷-10⁸).

Принцип работы:

1. Создаем список последовательных чисел от 2 до n
2. Берем первое число p из списка (2) — оно простое
3. Вычеркиваем все числа, кратные p (4, 6, 8...)
4. Переходим к следующему невычеркнутому числу и повторяем

2. Решето Аткина

Более современный алгоритм (2004 г.), который находит все простые числа до заданного предела n быстрее, чем решето Эратосфена.

Основные отличия:

• Использует квадратичные формы
• Выполняет предварительное просеивание
• Имеет асимптотическую сложность O(n/log log n)

3. Тесты простоты

Для проверки отдельных больших чисел на простоту используются вероятностные и детерминированные тесты.

3.1 Тест Миллера-Рабина

Вероятностный тест, работающий за O(k log³n), где k — количество раундов. Точность: вероятность ошибки ≤ 4⁻ᵏ.

3.2 Тест Агравала — Каяла — Саксены (AKS)

Первый детерминированный полиномиальный тест простоты (2002 г.), работает за O(log⁶n).

4. Сравнение алгоритмов

5. Практическое применение

В криптографии, особенно в RSA-шифровании, используются очень большие простые числа (сотни цифр). Для их генерации применяют:

• Комбинацию решета и вероятностных тестов
• Специализированные библиотеки (GMP, OpenSSL)
• Аппаратное ускорение