Минимизация функций многих переменных — одна из ключевых задач математической оптимизации, имеющая широкое применение в экономике, физике, машинном обучении и других областях. В отличие от функций одной переменной, минимизация многомерных функций требует учета сложных зависимостей между параметрами.
Функция нескольких переменных f(x₁, x₂, ..., xₙ) достигает локального минимума в точке x*, если существует окрестность этой точки, где значение функции не меньше, чем в самой точке.
Критические точки функции определяются через условия:
Важно: Не все критические точки являются точками минимума — они могут быть точками максимума или седловыми точками.
Один из самых популярных методов, где на каждом шаге осуществляется движение в направлении антиградиента:
Здесь αᵏ — шаг обучения, который может быть постоянным или адаптивным.
Более сложный, но эффективный метод, использующий вторые производные:
xᵏ⁺¹ = xᵏ - [Hf(xᵏ)]⁻¹∇f(xᵏ)
где Hf(xᵏ) — матрица Гессе. Метод Ньютона требует вычисления обратной матрицы, что может быть вычислительно затратно для больших размерностей.
Такие как BFGS и L-BFGS, которые приближают матрицу Гессе без её явного вычисления, что делает их более эффективными для задач большой размерности.
При реализации алгоритмов минимизации важны следующие моменты:
Интересный факт: В глубоком обучении используются модификации градиентного спуска (Adam, RMSprop), которые автоматически настраивают скорость обучения для каждого параметра.
Рассмотрим функцию Розенброка — классический тестовый пример для методов оптимизации:
f(x,y) = (1-x)² + 100(y-x²)²
Её особенность — узкое извилистое "долинное" строение, затрудняющее поиск минимума в точке (1,1).