Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции

Квадратичная функция — один из фундаментальных объектов изучения в алгебре, имеющий вид f(x) = ax² + bx + c, где a ≠ 0. График такой функции — парабола, которая может быть направлена ветвями вверх или вниз.

Пошаговый алгоритм нахождения экстремумов

1. Определить направление ветвей параболы:
   • Если a > 0 — парабола направлена ветвями вверх ⇒ функция имеет минимум
   • Если a < 0 — парабола направлена ветвями вниз ⇒ функция имеет максимум
2. Найти вершину параболы по формуле:
   x₀ = -b/(2a) — координата x вершины
3. Вычислить значение функции в вершине — это и будет экстремальное значение:
   y₀ = f(x₀) = a(x₀)² + b(x₀) + c
4. Для нахождения наибольшего/наименьшего значения на отрезке [p;q] необходимо также вычислить значения функции на концах отрезка: f(p) и f(q), а затем сравнить их с y₀.

Примеры применения

Пример 1: Нахождение минимума функции

Дана функция f(x) = 2x² - 8x + 5:

1. a = 2 > 0 ⇒ функция имеет минимум
2. Координата вершины: x₀ = -(-8)/(2×2) = 8/4 = 2
3. Вычисляем минимум:
   f(2) = 2×4 - 8×2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3
4. Наименьшее значение функции: -3

Пример 2: Нахождение наибольшего значения на отрезке

Дана функция f(x) = -x² + 6x - 8 на отрезке [1;4]:

1. a = -1 < 0 ⇒ функция имеет максимум
2. Координата вершины: x₀ = -6/(2×(-1)) = 3
3. Вычисляем значения:
   • f(1) = -1 + 6 - 8 = -3
   • f(3) = -9 + 18 - 8 = 1
   • f(4) = -16 + 24 - 8 = 0
4. Наибольшее значение: 1 (в точке x=3)

Важные замечания

• Если вершина параболы лежит вне рассматриваемого отрезка, экстремальное значение будет на одном из его концов
• Для параболы без действительных корней алгоритм работает аналогично
• При решении оптимизационных задач часто требуется выразить одну переменную через другую, чтобы получить квадратичную функцию
• Графический метод можно использовать для проверки вычислений

Полезные советы

• Всегда проверяйте знак коэффициента a перед началом решения
• Для визуализации строите эскиз графика — это помогает понять расположение вершины
• При работе с отрезками обязательно вычисляйте значения на концах
• Записывайте промежуточные вычисления для самопроверки
• Используйте калькулятор только для сложных вычислений