В топологии и математическом анализе псевдометрика является важным понятием, обобщающим классическую метрику. В отличие от метрики, псевдометрика допускает нулевое расстояние между различными точками, что делает её особенно полезной в ряде приложений.
Ключевое отличие: В метрическом пространстве расстояние между любыми двумя различными точками строго положительно (d(x,y) > 0 при x ≠ y), в то время как псевдометрика может давать d(x,y) = 0 для x ≠ y.
Функция d: X × X → ℝ называется псевдометрикой на множестве X, если для любых x, y, z ∈ X выполняются следующие условия:
Простейший пример задаётся формулой: d(x,y) = 0 для всех x, y ∈ X. Такая псевдометрика индуцирует антидискретную топологию.
Если p — полунорма на векторном пространстве V, то d(x,y) = p(x-y) является псевдометрикой. Например, для функциональных пространств:
d(f,g) = ∫|f(x) - g(x)|dx (интеграл по некоторой области) — псевдометрика, так как разные функции могут иметь нулевое расстояние (например, отличающиеся на множестве меры нуль).
Для взвешенного графа можно определить псевдометрику как минимальный вес пути между вершинами. Если граф несвязный, расстояние между вершинами разных компонент связности можно считать бесконечным или неопределённым.
Псевдометрика индуцирует топологию на множестве X аналогично метрике:
Интересное следствие: если отождествить точки с нулевым расстоянием, получится метрическое пространство (метрическое пополнение).
В пространствах измеримых функций часто используют псевдометрики, связанные с интегралами, что позволяет работать с классами эквивалентности функций.
В алгоритмах кластеризации и машинном обучении псевдометрики используются для измерения "похожести" объектов, когда некоторые различия можно считать несущественными.
Расстояние между случайными величинами, определённое через математическое ожидание их разности, часто оказывается псевдометрикой.
Псевдометрика занимает важное место в этой иерархии, сохраняя большинство полезных свойств метрики, но допуская бо́льшую гибкость.