Комбинаторика — это раздел математики, изучающий способы подсчёта количества возможных комбинаций элементов. В теории вероятностей комбинаторные методы играют ключевую роль при вычислении вероятностей событий в условиях равновозможных исходов.
Основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения и сочетания. Каждое из них применяется в зависимости от условий задачи.
Перестановки — это упорядоченные комбинации из n различных элементов. Число всех возможных перестановок вычисляется по формуле:
Pn = n! = 1 × 2 × 3 × ... × n
Пример: Сколько различных способов можно рассадить 5 человек за круглым столом? Ответ: P5 = 5! = 120 способов.
Размещения — это упорядоченные подмножества из k элементов множества из n элементов. Формула:
Akn = n!/(n-k)!
Пример: В конкурсе участвуют 10 человек, нужно выбрать тройку призёров (1-е, 2-е и 3-е места). Число возможных вариантов: A310 = 10!/(10-3)! = 720.
Сочетания — это неупорядоченные подмножества из k элементов множества из n элементов. Формула:
Ckn = n!/(k!(n-k)!)
Пример: Из 15 студентов нужно выбрать 3 для участия в конференции. Число способов: C315 = 455.
Рассмотрим классическую задачу: какова вероятность вытащить 2 туза из колоды в 36 карт при выборе 5 карт?
Важно: при решении вероятностных задач сначала определяют общее число возможных исходов, затем число благоприятных исходов. Вероятность равна отношению этих чисел.
В лотерее нужно угадать 6 чисел из 49. Вероятность выигрыша:
C649 = 13983816 комбинаций ⇒ P = 1/13983816 ≈ 0.0000000715
У родителей с генотипами Aa и Aa вероятность рождения ребёнка с признаком "A" (доминантный):
Комбинаторика находит применение во многих областях: от криптографии до анализа данных. Освоив её основы, вы сможете решать широкий круг вероятностных задач.